§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени — 476 — стр. 143

Давайте разберем систему уравнений:

\(\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{25}{12} \\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases}12\left(\frac{x}{y}\right)^2+12-25\left(\frac{x}{y}\right)=0 \\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

Начнем с того, чтобы выразить \((\frac{x}{y})\) из первого уравнения:

\(\frac{x}{y}=z, \\ 12 z^2-25 z+12=0\)

Применяем квадратное уравнение:

\(z_{1,2}=\frac{25 \pm \sqrt{625-576}}{24}, \\ z_1=\frac{4}{3}, \\ z_2=\frac{3}{4}\)

Рассмотрим два случая:

1) \(\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{4}{3} \\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=\frac{4}{3} y \\ \frac{16}{9} y^2-y^2=7\end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{4}{3} y \\ \frac{7}{9} y^2=7\end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{4}{3} y \\ y^2=9\end{cases}\\ \begin{cases}y=3 \\ x=4\end{cases} \text{ или }\begin{cases}y=-3 \\ x=-4\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{3}{4} \\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=\frac{3}{4} y \\ \frac{9}{16} y^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=\frac{3}{4} y \\ -\frac{7}{16} y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases}x =\frac{3}{4} y \\ y^2 =-16\end{cases} \text{ - решений нет.}\)

Итак, Ответ: \((4 ; 3),(-4 ;-3)\).

Рассмотрим вторую систему уравнений:

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=2.1, \\x^{2}+y^{2}=29.\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{l}10(\frac{x}{y})^2-10-21(\frac{y}{x})=0, \\x^{2}+y^{2}=29.\end{array}\right.\)

Начнем с решения первого уравнения относительно \(\frac{x}{y}\):

\(\frac{x}{y}=z, \\ 10 z^2-21 z-10=0, \\ z_{1,2}=\frac{21 \pm \sqrt{441+400}}{20}, \\ z_1=\frac{5}{2}, \\ z_2=-\frac{2}{5}\)

Теперь рассмотрим два случая:

1) \(\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{5}{2} \\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=\frac{5}{2} y \\ \frac{25}{4} y^2+y^2=29\end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{5}{2} y \\ \frac{29}{4} y^2=29\end{cases} \\ \begin{cases}y^2=4 \\ x=\frac{5}{2} y\end{cases} \\ \begin{cases}{ y = 2 } \\ { x = 5 }\end{cases} \text { или } \begin{cases}y=-2, \\ x=-5\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}\frac{x}{y}=-\frac{2}{5} \\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=-\frac{2}{5} y \\ \frac{4}{25} y^2+y^2=29\end{cases} \\ \begin{cases}x=-\frac{2}{5} y \\ \frac{29}{25} y^2=29\end{cases} \\ \begin{cases}{ y = 5 } \\ { x = - 2 }\end{cases} \text { или } \begin{cases}y=-5 \\ x=2\end{cases}\)

Таким образом, ответ: \((5 ; 2),(-5 ;-2),(-2 ; 5),(2 ;-5)\).