§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени — 479 — стр. 143

\(\begin{array}{c}x^2 + xy + y^2 = 7 \\x + xy + y = 5\end{array}\)

Произведем замену:\( xy=z, x+y=w\)

Тогда \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=w^2-2z \)

\(\begin{cases}w^2-2z+z=7 \\z+w=5\end{cases} \)

\(\begin{cases}z=5-w \\w^2-5+w=7\end{cases} \)

\(\begin{cases}z=5-w \\w^2+w-12=0\end{cases}\)

\(w^2+w-12=0, \\w_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2}, \\w_1=3, \\w_2=-4 ; \)

\( \begin{cases} w = 3 \\z = 2\end{cases} \text { или }\begin{cases}w=-4 \\z=9\end{cases}\)

1) \(\begin{array}{c}x+y=3 \\xy=2\end{array}\)

\(\begin{cases}x=3-y \\3y-y^2=2\end{cases} \)

\(y^2-3y+2=0 \\y_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} \\y_1=2, \\y_2=1 \\\)

\(\begin{cases}y = 2 \\x = 1\end{cases} \text { или }\begin{cases}y=1 \\x=2\end{cases}\)

2) \(\begin{array}{c}x+y=-4 \\xy=9\end{array}\)

\(\begin{cases}x=-4-y \\-4y-y^2=9\end{cases} \)

\(y^2+4y+9=0, \\D=16-36=-20<0-\text{корней нет}.\)

Ответ: \((1 ; 2),(2 ; 1)\).

\(\begin{array}{c}x^2+xy+y^2=19 \\x+xy+y=1\end{array}\)

Произведем замену: \(xy=z, x+y=w\).

Тогда \(x^2+y^2=(x+y)^2-2z=w^2-2z\).

Решим систему уравнений после замены:

\(\begin{cases}w^2-2 z+z=19 \\ w+z=1 \\ z=1-w\end{cases} \)

\(\begin{cases}w^2-2+2 w+1-w=19 \\ w^2+w-20=0,\end{cases}\)

\(w_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+80}}{2}, \\ w_1=4, \\ w_2=-5 \)

\(\begin{cases}w=4 \\ z=- 3 \end{cases} \text { или } \begin{cases}w=-5 \\ z=6\end{cases}\)

Рассмотрим два случая:

1) \(\begin{cases}w=4 \\ z=-3\end{cases} \)

\( \begin{cases}x+y=4 \\ x y=-3\end{cases} \)

\( \begin{cases}x=4-y \\ 4 y-y^2=-3\end{cases} \)

\(y^2-4 y-3=0, \\ y_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{16+12}}{2}=2 \pm \sqrt{7} \)

\(\begin{cases}{ y = 2 + \sqrt { 7 } } \\ { x = 2 - \sqrt { 7 } }\end{cases} \text { или } \begin{cases}y=2-\sqrt{7} \\ x=2+\sqrt{7}\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}x+y=-5 \\ x y=6\end{cases} \)

\( \begin{cases}x=-5-y \\ -4 y-y^2=9\end{cases} \)

\( y^2+5 y+6=0, \\ y_{1,2}=\frac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2} \\ y_1=-2, \\ y_2=-3\)

\(\begin{cases}{ y = - 2 } \\ { x = - 3 }\end{cases} \text { или } \begin{cases}y=-3 \\ x=-2\end{cases}\)

Ответ: \((2-\sqrt{7} ; 2+\sqrt{7}),(2+\sqrt{7} ; 2-\sqrt{7}),(-3 ;-2),(-2 ;-3)\).