§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 489 — стр. 144

Рассмотрим систему уравнений:

\(\left\{\begin{array}{c}x^2 - y + 11 = 0 \\y + x^2 = 4\end{array}\right.\)

Перепишем второе уравнение в виде \(y = 4 - x^2\). Теперь мы имеем систему:

\(\left\{\begin{array}{c}y = x^2 + 11 \\y = 4 - x^2\end{array}\right.\)

На графике видно, что графики не пересекаются. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Изучим систему уравнений:

\(\left\{\begin{array}{l}(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1 \\(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4\end{array}\right.\)

Первое уравнение описывает окружность с центром в точке \((-3, -4)\) и радиусом 1, а второе уравнение - окружность с центром в точке \((2, 1)\) и радиусом 2.

Графики этих окружностей не пересекаются, следовательно, система уравнений не имеет решений.

Исследуем систему уравнений:

\(\left\{\begin{array}{c}y = |x| \\\frac{1}{2} x^3 - y = 0\end{array}\right.\)

Графики пересекаются в двух точках: \((-1, -\frac{1}{2})\) и \((1, \frac{1}{2})\). Следовательно, система имеет два решения.