§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 490 — стр. 145

Рассмотрим систему уравнений:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=r^2\\ y=-x^2+4\end{array}$
Уравнение $x^2+y^2=r^2$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом $r$, тогда как уравнение $y=-x^2+4$ описывает параболу, полученную сдвигом графика функции $y=-x^2$ на 4 единицы вверх.
Вопрос о количестве решений этой системы зависит от значения $r$. Возможны следующие случаи:
1. Если $r=4$, то окружность касается вершины параболы, и система имеет 3 решения.
2. Если $r<4$, то окружность полностью лежит внутри параболы, и система имеет две точки пересечения.
3. Если $r>4$, то окружность и парабола пересекаются в четырех точках.
4. Если $r<2$, то окружность и парабола не пересекаются.
Таким образом, в зависимости от значения $r$ система может иметь 2, 3, 4 решения или не иметь решений.