§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 490 — стр. 145

Рассмотрим систему уравнений:
\(\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=r^2 \\y=-x^2+4\end{array}\right.\)
Уравнение \(x^2+y^2=r^2\) задает окружность с центром в начале координат и радиусом \(r\), тогда как уравнение \(y=-x^2+4\) описывает параболу, полученную сдвигом графика функции \(y=-x^2\) на 4 единицы вверх.
Вопрос о количестве решений этой системы зависит от значения \(r\). Возможны следующие случаи:
1. Если \(r = 4\), то окружность касается вершины параболы, и система имеет 3 решения.
2. Если \(r < 4\), то окружность полностью лежит внутри параболы, и система имеет две точки пересечения.
3. Если \(r > 4\), то окружность и парабола пересекаются в четырех точках.
4. Если \(r < 2\), то окружность и парабола не пересекаются.
Таким образом, в зависимости от значения \(r\) система может иметь 2, 3, 4 решения или не иметь решений.