§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 491 — стр. 145

Рассмотрим систему уравнений:
\(\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=5 \\x-y=m\end{array}\right.\)
Сначала выразим переменную \(y\) из второго уравнения:
\(\left\{\begin{array}{l}y=x-m \\x^2+(x-m)^2=5\end{array}\right.\)
Упростим второе уравнение:
\(x^2+x^2-2xm+m^2-5=0, \\ 2x^2-2xm+m^2-5=0\)
Вычислим дискриминант \(D\) квадратного уравнения:
\(D = 4m^2-4 \cdot 2(m^2-5) = 4m^2-8m^2+40 = 40-4m^2\)
Теперь рассмотрим два случая:
а) При \(D=0\):
\(40-4m^2=0 \\ m^2=10 \\ m= \pm \sqrt{10}.\)
б) При \(D>0\):
\(40-4m^2>0 \\ m^2<10 \\ -\sqrt{10}<m<\sqrt{10}.\)
Таким образом, система имеет решения при \(m=\pm\sqrt{10}\) (в случае \(D=0\)) и при \(-\sqrt{10}<m<\sqrt{10}\)).