§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 498 — стр. 146

\(\begin{cases}\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { y } = \frac { 1 } { 6 } \\2 x - y = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x-5}=\frac{1}{6} \\y=2 x-5\end{cases}\)

\( \frac{2 x-5+x}{x(2 x-5)}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{3 x-5}{x(2 x-5)}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow \begin{cases}x(2 x-5)=6(3 x-5) \\x \neq\{0; 2,5\}\end{cases} \)

\( 2 x^2-5 x=18 x-30 \Leftrightarrow 2 x^2-23 x+30=0\Leftrightarrow (2 x-3)(x-10)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x=1,5 \\x=10\end{cases}\)

\(\begin{cases}\begin{cases}x = 1, 5 \\x = 10\end{cases} \\y = 2 x - 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=1,5 \\y=3-5=-2\end{cases} \\\begin{cases}x=10 \\y=20-5=15\end{cases}\end{cases}\)

Ответ: есть два решения \(\{(1,5;-2),(10; 15)\}\).

\(\begin{cases}\frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { y } = \frac { 1 } { 2 0 } \\x + 2 y = 1 4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{14-2 y}-\frac{1}{y}=\frac{1}{20} \\x=14-2 y\end{cases}\)

\( \frac{y-(14-2 y)}{y(14-2 y)}=\frac{1}{20} \Leftrightarrow\frac{3 y-14}{y(14-2 y)}=\frac{1}{20} \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\begin{cases}y(14-2 y)=20(3 y-14) \\y \neq\{0; 7\}\end{cases} \)

\( 14 y-2 y^2=60 y-280 \Leftrightarrow 2 y^2+46 y-280=0\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow y^2+23 y-140=0\Leftrightarrow(y+28)(y-5)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}y=-28 \\y=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 1 4 - 2 y \\\begin{cases}y = - 2 8 \\y = 5\end{cases}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=14+56=70 \\y=-28\end{cases}\\\begin{cases}x=14-10=4\\y=5\end{cases}\end{cases}\)

Ответ: есть два решения \(\{(70;-28),(4; 5)\}\).

\(\begin{cases}x+y=14 \\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2 \frac{1}{12}\end{cases}\)

\(t=\frac{x}{y}\)

\( t+\frac{1}{t}=\frac{25}{12} \mid \times 12 t \)

\( 12 t^2-25 t+12=0 \Leftrightarrow(3 t-4)(4 t-3)=0 \Leftrightarrow\begin{cases}t=\frac{3}{4} \\t=\frac{4}{3}\end{cases}\)

\( \begin{cases}\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{3}{4} \\\frac{x}{y}=\frac{4}{3}\end{cases}\\x+y=14\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=\frac{3}{4}y \\x=\frac{4}{3}y\end{cases}\\x+y=14\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=\frac{3}{4}y \\\frac{3}{4}y+y=14\end{cases}\\\begin{cases}x=\frac{4}{3}y \\\frac{4}{3}y+y=14\end{cases}\end{cases}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=\frac{3}{4}y \\7y=56\end{cases}\\\begin{cases}x=\frac{4}{3}y \\7y=42\end{cases}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=\frac{3}{4} \cdot 8=6 \\y=8\end{cases} \\\begin{cases}x=\frac{4}{3} \cdot 6=8 \\y=6\end{cases}\end{cases}\)

Ответ: есть два решения \(\{(6; 8),(8; 6)\}\).

\(\begin{cases}x-y=2 \\\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6}\end{cases}\)

\(t=\frac{x}{y}\)

\( t-\frac{1}{t}=\frac{5}{6} \mid \times 6 t \)

\(6 t^2-5 t-6=0 \Leftrightarrow (2 t-3)(3 t+2)=0 \Leftrightarrow\begin{cases}t=-\frac{2}{3} \\t=\frac{3}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x - y = 2 \\\begin{cases}\frac { x } { y } = - \frac { 2 } { 3 } y \\\frac { x } { y } = \frac { 3 } { 2 }\end{cases}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}x = - \frac { 2 } { 3 } y \\- \frac { 2 } { 3 } y - y = 2 \end{cases} \\\begin{cases}x = \frac { 3 } { 2 } y \\\frac { 3 } { 2 } y - y = 2 \end{cases}\end{cases} \Leftrightarrow (\begin{cases}\begin{cases}x=-\frac{2}{3} y \\-\frac{5}{3} y=2\end{cases} \\\begin{cases}x=\frac{3}{2} y \\\frac{1}{2} y=2\end{cases}\end{cases} \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=-\frac{2}{3} \cdot(-1,2)=0,8 \\y=-\frac{6}{5}=-1,2\end{cases} \\\begin{cases}x=\frac{3}{2} \cdot 4=6 \\y=4\end{cases}\end{cases}\)

Ответ: есть два решения \(\{(0,8;-1,2),(6; 4)\}\).