§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 509 — стр. 147

Пусть длина одной стороны прямоугольника - \(x\), а второй - \(y\) (\(x > 0\), \(y > 0\)).
Диагональ по теореме Пифагора \(x^2 + y^2 = 15^2.\)
Периметр прямоугольника - 2(x+y). После изменения длин сторон 2(x-6+y-8)=2(x+y-14). Т.к. периметр уменьшится в три раза, то
\(2(x+y) = 6(x+y-14)\)
\(\begin{cases}x^2+y^2=225 \\ x+y=3(x+y-14)\end{cases}\)
\(\begin{cases}x^2+y^2=225 \\ 2x+2y=42\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=21-y \\ (21-y)^2+y^2=225\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=21-y \\ 441-42y+y^2+y^2-225=0\end{cases}\)
\(2y^2-42y+216=0 \)
\(y^2-21y+108=0 \)
\(y_{1,2}=\frac{21 \pm \sqrt{441-432}}{2}\)
\(y_1=12 \)
\(y_2=9\)
\(\begin{cases}y=12 \\ x=9\end{cases}\) или \(\begin{cases} y=9 \\ x=12\end{cases}\)
Ответ: 9 см и 12 см.