§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 510 — стр. 147

Предположим, что время, необходимое для заполнения бассейна первой трубой, составляет \(x\) часов, а для второй - \(y\) часов (\(x > 0\), \(y > 0\)).
Тогда расход воды первой трубой в час равен \(\frac{1}{x}\), а второй - \(\frac{1}{y}\). Согласно условию, первая труба работает на 5 часов быстрее, что можно выразить как \(x + 5 = y\). Бассейн заполняется за 5 часов работы первой трубы и 7,5 часов второй, что приводит к системе уравнений:
\(\frac{5}{x} + \frac{7,5}{y} = 1 \)
\(\begin{cases}y = 5 + x \\\frac{5}{x} + \frac{7,5}{y} = 1\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 5 + x \\10y + 15x = 2xy\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 5 + x \\50 + 10x + 15x = 10x + 2x^2\end{cases}\)
\(2x^2 - 15x - 50 = 0\)
\(x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 400}}{4} \)
\(x_1 = 10\)
\(x_2 = -2,5\)- не соответствует условию
\(\begin{cases}x = 10 \\y = 15\end{cases}\)
При совместной работе обе трубы за час наполняют \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}\) часть бассейна. Таким образом, бассейн будет заполнен за 6 часов.