§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 513 — стр. 147

Пусть скорость одного автомобиля составляет \(x\) км/ч, а второго — \(y\) км/ч. Тогда время, через которое автомобили встретятся, равно \(\frac{90}{x+y}\) часа.
До встречи первый автомобиль проедет расстояние \(\frac{90}{x+y}x\) км, а второй — \(-\frac{90}{x+y}y\) км. После встречи первый автомобиль проедет \(\frac{75}{60}x\) км, а второй \(-\frac{48}{60}y\) км.
Тогда система уравнений имеет вид:
\(\begin{cases}90 - \frac{90}{x+y}x = \frac{75}{60}x\\90 - \frac{90}{x+y}y = \frac{48}{60}y\end{cases}\)
Решая эту систему, получаем:
\(x + y = 90\)
\(\frac{90y}{x(x+y)} = \frac{y(x+y)}{90x}\)
Из второго уравнения следует, что \(\frac{90}{x+y} = \frac{x+y}{90}\), откуда \(x+y = 90\).
Таким образом, получаем систему:
\(x + y = 90\)
\(\begin{cases}90 - x = \frac{5}{4}x\\90 - y = \frac{4}{5}y\end{cases}\)
Решая систему уравнений, находим \(x = 40\) и \(y = 50\).
Ответ: Скорость первого автомобиля — 40 км/ч, второго — 50 км/ч.