§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 8 — 520 — стр. 148

Неравенство \((x-1)(y-1) \geq 0\) можно рассматривать в двух случаях:

\(\left\{\begin{array}{l}x-1 \geq 0 \\ y-1 \geq 0\end{array}\right.\) или \(\left\{\begin{array}{l}x-1 \leq 0 \\ y-1 \leq 0\end{array}\right.\)

Для первого случая получаем \(\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ y \geq 1\end{array}\right.\), а для второго \(\left\{\begin{array}{l}x \leq 1 \\ y \leq 1\end{array}\right.\). Таким образом, две области, удовлетворяющие неравенству, находятся между прямыми \(x=1\) и \(y=1\) в первой и третьей координатных четвертях, включая прямые.

Неравенство \(x^2-y^2>0\) можно представить в виде \((x-y)(x+y)>0\). Рассматривая два случая:

\(\left\{\begin{array}{c}y<x \\ y>-x\end{array}\right.\) или \(\left\{\begin{array}{c}y>x \\ y<-x\end{array}\right.\).

Таким образом, две области, удовлетворяющие неравенству, находятся между прямыми \(y=x\) и \(y=-x\).