§9. Арифметическкая прогрессия — 26.Последовательности — 538 — стр. 152

Рассмотрим неравенство $x^2+x-42\le 0$. Построим график функции $y(x)=x^2+x-42$, которая представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Теперь решим уравнение $x^2+x-42=0$:

$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1+168}}{2}$

$x_1=6,x_2=-7$

Таким образом, корни уравнения $x^2+x-42=0$ равны $x_1=6$ и $x_2=-7$. Теперь определим знак выражения $x^2+x-42$ на интервалах, разбивая пространство чисел на отрезки, определяемые корнями уравнения. Получаем интервал $-7\le x\le 6$.

Рассмотрим неравенство $(x+11)(x+4)(x-1)>0$. Найдем корни уравнения $(x+11)(x+4)(x-1)=0$:

$x_1=-11,x_2=-4,x_3=1$

Теперь используем метод интервалов: разделим пространство чисел на интервалы, определенные корнями уравнения. Получаем интервалы $(-11,-4)$ и $(1,+\mathrm{\infty })$. Таким образом, решение неравенства - $x\in (-11,-4)\cup (1,+\mathrm{\infty })$.