ГДЗ по алгебре за 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова - Алгебра - Учебник

§9. Арифметическкая прогрессия — 27. Определение арифметической прогрессии — 561 — стр. 159

Докажите, что если числа a,b,c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a2+ab+b2, a2+ac+c2 и b2+bc+c2 также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия с членами a,b,c. Пусть:
a=x
b=x+d
c=x+2d
a2+ab+b2=x2+x(x+d)+(x+d)2==x2+x2+xd+x2+2xd+d2=3x2+3xd+d2
a2+ac+c2=x2+x(x+2d)+(x+2d)2==x2+x2+2xd+x2+4xd+4d2=3x2+6xd+4d2
b2+bc+c2=(x+d)2+(x+d)(x+2d)+(x+2d)2==x2+2xd+d2+x2+2xd+xd+2d2+x2+4xd+4d2=3x2+9xd+7d2
Теперь найдем разности между этими выражениями:
(b2+bc+c2)(a2+ac+c2)==(3x2+9xd+7d2)(3x2+6xd+4d2)=3xd+3d2
(a2+ac+c2)(a2+ab+b2)==(3x2+6xd+4d2)(3x2+3xd+d2)=3xd+3d2
Таким образом, разности одинаковы и равны 3xd+3d2. Следовательно, если a,b,c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то и a2+ab+b2,a2+ac+c2,b2+bc+c2 также будут последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Решебник

"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.

Aвторы:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

Задание

Докажите, что если числа a,b,c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a2+ab+b2, a2+ac+c2 и b2+bc+c2 также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.