§9. Арифметическкая прогрессия — 27. Определение арифметической прогрессии — 562 — стр. 159

Пусть \(a^2, b^2, c^2\) - последовательные члены арифметической прогрессии, и разность этой прогрессии равна \(d\).
Тогда:
\(b^2 - a^2 = d\)
\(c^2 - b^2 = d\)
Разность \(d\) одинакова в обоих случаях, так как мы предполагаем, что эти квадраты являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Раскроем выражения:
\(b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = d\)
\(c^2 - b^2 = (c - b)(c + b) = d\)
Теперь давайте рассмотрим выражения \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\):
\(\frac{1}{b+c} - \frac{1}{a+c} = \frac{(a+c) - (b+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{a - b}{(a+c)(b+c)}\)
\(\frac{1}{a+c} - \frac{1}{a+b} = \frac{(a+b) - (a+c)}{(a+c)(a+b)} = \frac{b - c}{(a+c)(a+b)}\)
\(\frac{1}{a+b} - \frac{1}{b+c} = \frac{(b+c) - (a+b)}{(a+b)(b+c)} = \frac{c - a}{(a+b)(b+c)}\)
Заметим, что числитель в каждом из выражений равен разности \(b - a\), \(c - b\), \(c - a\), соответственно.
Таким образом, разность в числителе в каждом из этих трех выражений также равна \(d\), который одинаков для последовательных членов арифметической прогрессии.
Итак, мы доказали, что \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.