§9. Арифметическкая прогрессия — 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии — 572 — стр. 164

Для арифметической прогрессии с первым членом \(x_1 = 4+2 = 6\) и разностью \(d = 4\), найдем 50-й и 100-й члены:

\(x_{50} = 4 \cdot 50 + 2 = 202,\)

\(x_{100} = 4 \cdot 100 + 2 = 402.\)

Также найдем общую формулу для \(n\)-го члена прогрессии: \(x_n = 4n + 2\). Теперь вычислим суммы первых 50 и 100 членов прогрессии:

\(S_{50} = \frac{(6 + 202) \cdot 50}{2} = \frac{208 \cdot 50}{2} = 5200,\)

\(S_{100} = \frac{(6 + 402) \cdot 100}{2} = \frac{408 \cdot 100}{2} = 20400.\)

Общая формула для суммы первых \(n\) членов прогрессии: \(S_n = \frac{(6 + 4n + 2) \cdot n}{2} = (4n + 2n^2)\).

Для арифметической прогрессии с первым членом \(x_1 = 2 + 3 = 5\) и разностью \(d = 2\), найдем 50-й и 100-й члены:

\(x_{50} = 2 \cdot 50 + 3 = 103,\)

\(x_{100} = 2 \cdot 100 + 3 = 203.\)

Также найдем общую формулу для \(n\)-го члена прогрессии: \(x_n = 2n + 3\). Теперь вычислим суммы первых 50 и 100 членов прогрессии:

\(S_{50} = \frac{(5 + 103) \cdot 50}{2} = \frac{108 \cdot 50}{2} = 2700,\)

\(S_{100} = \frac{(5 + 203) \cdot 100}{2} = \frac{208 \cdot 100}{2} = 10400.\)

Общая формула для суммы первых \(n\) членов прогрессии: \(S_n = \frac{(5 + 2n + 3) \cdot n}{2} = (4n + n^2)\).

Для арифметической прогрессии с первым членом \(x_1 = 1 - 4 = -3\) и разностью \(d = 1\), найдем 50-й и 100-й члены:

\(x_{50} = 1 - 4 \cdot 50 = -199,\)

\(x_{100} = 1 - 4 \cdot 100 = -399.\)

Также найдем общую формулу для \(n\)-го члена прогрессии: \(x_n = n - 4\). Теперь вычислим суммы первых 50 и 100 членов прогрессии:

\(S_{50} = \frac{(-3 + (-199)) \cdot 50}{2} = \frac{(-202) \cdot 50}{2} = -5050,\)

\(S_{100} = \frac{(-3 + (-399)) \cdot 100}{2} = \frac{(-402) \cdot 100}{2} = -20100.\)

Общая формула для суммы первых \(n\) членов прогрессии: \(S_n = \frac{(-3 + (n - 4)) \cdot n}{2} = \frac{(n^2 - 7n)}{2}\).

Для арифметической прогрессии с первым членом \(x_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2\) и разностью \(d = 3\), найдем 50-й и 100-й члены:

\(x_{50} = 3 \cdot 50 - 1 = 149,\)

\(x_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 299.\)

Также найдем общую формулу для \(n\)-го члена прогрессии: \(x_n = 3n - 1\). Теперь вычислим суммы первых 50 и 100 членов прогрессии:

\(S_{50} = \frac{(2 + 149) \cdot 50}{2} = \frac{151 \cdot 50}{2} = 3775,\)

\(S_{100} = \frac{(2 + 299) \cdot 100}{2} = \frac{301 \cdot 100}{2} = 15050.\)

Общая формула для суммы первых \(n\) членов прогрессии: \(S_n = \frac{(2 + (3n - 1)) \cdot n}{2} = \frac{(3n^2 + n)}{2}\).