Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Тождественные преобразования — 713 — стр. 193

Возьмем выражение \(a^2+2a+2\) и преобразуем его, выделив полный квадрат:

\(a^2+2a+2 = a^2+2a+1+1 = (a+1)^2+1\)

Теперь рассмотрим выражение \((a+1)^2\). Квадрат любого числа (в данном случае \(a+1\)) всегда неотрицателен. Следовательно, \((a+1)^2 \geq 0\). Теперь добавим единицу: \((a+1)^2+1\). Поскольку мы прибавляем положительное число (единицу) к неотрицательному выражению, результат также будет неотрицательным:

\((a+1)^2+1 > 0\)

Таким образом, \(a^2+2a+2\) всегда положительно при любых значениях \(a\).

Рассмотрим выражение \(2x^2-2xy+y^2\). Преобразуем его, выделив полный квадрат:

\(2x^2-2xy+y^2 = x^2-2xy+y^2+x^2 = (x-y)^2+x^2\)

Теперь рассмотрим слагаемые: \((x-y)^2\) и \(x^2\). Квадрат любого числа (в данном случае \(x-y\)) всегда неотрицателен, и квадрат \(x\) также неотрицателен. Таким образом, оба слагаемых неотрицательны.

Следовательно, \((x-y)^2+x^2 \geq 0\), что доказывает, что \(2x^2-2xy+y^2 \geq 0\) для любых значений \(x\) и \(y\)

Таким образом, оба неравенства доказаны.