Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Тождественные преобразования — 713 — стр. 193

Возьмем выражение $a^2+2a+2$ и преобразуем его, выделив полный квадрат:

$a^2+2a+2=a^2+2a+1+1=(a+1{)}^2+1$

Теперь рассмотрим выражение $(a+1{)}^2$. Квадрат любого числа (в данном случае $a+1$) всегда неотрицателен. Следовательно, $(a+1{)}^2\ge 0$. Теперь добавим единицу: $(a+1{)}^2+1$. Поскольку мы прибавляем положительное число (единицу) к неотрицательному выражению, результат также будет неотрицательным:

$(a+1{)}^2+1>0$

Таким образом, $a^2+2a+2$ всегда положительно при любых значениях $a$.

Рассмотрим выражение $2x^2-2xy+y^2$. Преобразуем его, выделив полный квадрат:

$2x^2-2xy+y^2=x^2-2xy+y^2+x^2=(x-y{)}^2+x^2$

Теперь рассмотрим слагаемые: $(x-y{)}^2$ и $x^2$. Квадрат любого числа (в данном случае $x-y$) всегда неотрицателен, и квадрат $x$ также неотрицателен. Таким образом, оба слагаемых неотрицательны.

Следовательно, $(x-y{)}^2+x^2\ge 0$, что доказывает, что $2x^2-2xy+y^2\ge 0$ для любых значений $x$ и $y$

Таким образом, оба неравенства доказаны.