Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Тождественные преобразования — 719 — стр. 193

Рассмотрим выражение $\frac{5+\sqrt{y}}{5\sqrt{y}+y}$:

$\frac{5+\sqrt{y}}{5\sqrt{y}+y}=\frac{5+\sqrt{y}}{\sqrt{y}(5+\sqrt{y})}$

Мы видим общий множитель в числителе и знаменателе, поэтому можем сократить его:

$\frac{5+\sqrt{y}}{\sqrt{y}(5+\sqrt{y})}=\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{y}$.

Рассмотрим выражение $\frac{3x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$:

$\frac{3x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$

Снова заметим общий множитель в числителе и знаменателе $\sqrt{x}+\sqrt{2}$ и сократим его:

$\frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=3\sqrt{x}-3\sqrt{2}$.

Рассмотрим выражение $\frac{a\sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}+1}$:

$\frac{a\sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a^3}-1}{a+\sqrt{a}+1}$

Применим разность кубов и сократим общий множитель $\sqrt{a}-1$:

$\frac{\sqrt{a^3}-1}{a+\sqrt{a}+1}=\frac{(\sqrt{a}{)}^3-1^3}{a+\sqrt{a}+1}=\frac{(\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)}{a+\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}-1$.

Рассмотрим выражение $\frac{b-\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}+1}$:

$\frac{b-\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}+1}=\frac{b-\sqrt{b}+1}{\sqrt{b^3}+1}$

Применим разность кубов и сократим общий множитель $\sqrt{b}+1$:

$\frac{b-\sqrt{b}+1}{\sqrt{b^3}+1}=\frac{b-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b}{)}^3+1^3}=\frac{b-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b}+1)(b-\sqrt{b}+1)}=\frac{1}{\sqrt{b}+1}$.

Рассмотрим выражение $\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y}$:

$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y}=\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Применим сумму кубов и сократим общий множитель:

$\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}{)}^3+(\sqrt{y}{)}^3}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{y}+(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{y}}$.

Рассмотрим выражение $\frac{c-\sqrt{cd}}{c\sqrt{c}-d\sqrt{d}}$:

$\frac{c-\sqrt{cd}}{c\sqrt{c}-d\sqrt{d}}=\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c^3}-\sqrt{d^3}}$

Применим разность кубов и сократим общий множитель:

$\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c^3}-\sqrt{d^3}}=\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c}{)}^3-(\sqrt{d}{)}^3}=\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c}-\sqrt{d})(c+\sqrt{cd}+d)}=\frac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{cd}+d}$.