Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 857 — стр. 210

\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3 \\ x y=8\end{cases}\)
Предположим, что \(\sqrt[3]{x}=z\) и \(\sqrt[3]{y}=w\). Тогда система уравнений примет вид:
\(\begin{cases}z+w=3 \\ (z w)^3=8\end{cases}\)
Решим систему:
\(\begin{cases}z=3-w \\ z w=2\end{cases}\)
\(\begin{cases}z=3-w \\ 3w-w^2-2=0\end{cases}\)
\(3w-w^2+2=0\)
\(w_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2},\)
Получаем \(w_1=2\) и \(w_2=1\)
Подставим значения \(w\) в первое уравнение:
- 1-й случай: \(w=2\)
\(\begin{cases}w=2 \\ z=1\end{cases}\)
\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}=1 \\ \sqrt[3]{y}=2\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=1 \\ y=8\end{cases}\)
- 2-й случай: \(w=1\)
\(\begin{cases}w=1 \\ z=2\end{cases}\)
\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}=2 \\ \sqrt[3]{y}=1\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=8 \\ y=1\end{cases}\)
Ответ: У системы два решения: \((1;8), (8;1)\).