Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 858 — стр. 210

\(\begin{cases}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x}}=4,25 \\ x+y=130\end{cases}\)
Предположим, что \(\sqrt[3]{\frac{x}{y}}=z\). Тогда уравнение примет вид:
\(z+\frac{1}{z}=4,25\)
Умножим обе части уравнения на \(z\):
\(z^2-4,25z+1=0\)
Решим получившееся уравнение:
\(4z^2-17z+4=0\)
Используем квадратное уравнение:
\(z_{1,2}=\frac{17 \pm \sqrt{289-64}}{8}\)
Получаем \(z_1=4\) и \(z_2=\frac{1}{4}\)
Подставим значения \(z\) в систему уравнений:
- 1-й случай: \(z=4\)
\(\begin{cases}\frac{x}{y}=64 \\ x+y=130\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=64y \\ 65y=130\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2 \\ x=128\end{cases}\)
- 2-й случай: \(z=\frac{1}{4}\)
\(\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{1}{64} \\ x+y=130\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=64x \\ 65x=130\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=2 \\ y=128\end{cases}\)
Ответ: у системы два решения: \((128 ; 2), (2 ; 128)\).