Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 858 — стр. 210

$\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x}}=4,25\\ x+y=130\end{array}$
Предположим, что $\sqrt[3]{\frac{x}{y}}=z$. Тогда уравнение примет вид:
$z+\frac{1}{z}=4,25$
Умножим обе части уравнения на $z$:
$z^2-4,25z+1=0$
Решим получившееся уравнение:
$4z^2-17z+4=0$
Используем квадратное уравнение:
$z_{1,2}=\frac{17\pm \sqrt{289-64}}{8}$
Получаем $z_1=4$ и $z_2=\frac{1}{4}$
Подставим значения $z$ в систему уравнений:
- 1-й случай: $z=4$
$\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}=64\\ x+y=130\end{array}$
$\{\begin{array}{l}x=64y\\ 65y=130\end{array}$
$\{\begin{array}{l}y=2\\ x=128\end{array}$
- 2-й случай: $z=\frac{1}{4}$
$\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}=\frac{1}{64}\\ x+y=130\end{array}$
$\{\begin{array}{l}y=64x\\ 65x=130\end{array}$
$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=128\end{array}$
Ответ: у системы два решения: $(128;2),(2;128)$.