Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 859 — стр. 211

Составление системы уравнений:
Пусть числитель дроби равен \(x\) а знаменатель - \(y\). Составим систему:
\(\begin{cases}y=x^2-1 \\ \frac{x+2}{y+2}>\frac{1}{4} \\ \frac{x-3}{y-3}<\frac{1}{10}\end{cases}\) \(y \neq 0, y \neq-2, y \neq 3 \)
Приведение системы к более простому виду:
Перепишем систему уравнений:
\(\begin{cases}y=x^2-1 \\ 4 x+8>y+2 \\ 10 x-30<y-3\end{cases}\)
Приведем к стандартному виду:
\(\begin{cases}y=x^2-1 \\ 4 x-x^2+1>-6 \\ 10 x-x^2+1<27\end{cases}\)
Приведем уравнения к квадратичному виду:
\(\begin{cases}y=x^2-1 \\ x^2-4 x-7<0 \\ x^2-10 x+26>0\end{cases}\)
Нахождение корней квадратных уравнений:
\(\text{1) } x^2-4 x-7=0\)
\(D=16+28=44\)
\(x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{44}}{2}=2 \pm \sqrt{11}\)
\(\text{2) } x^2-10 x+26=0\)
\(D=100-4 \cdot 26=-4<0 \text{ - решений нет;}\)
Получаем:
\(\begin{cases}y=x^2-1 \\ x \in(2-\sqrt{11} ; 2+\sqrt{11})\end{cases}\)
Проверка недопустимых значений:
При \(x=1\) и \(x=2\) \(y\) принимает недопустимые значения.
Нахождение допустимых значений:
Подставим \(x\) в систему уравнений:
\(x=3, y=8\)
\(x=4, y=15\)
\(x=5, y=24\)
Ответ: допустимые значения: \(\frac{3}{8}, \frac{4}{15}, \frac{5}{24}\)
Таким образом, уравнение \(\frac{x}{y}\) принимает допустимые значения при \(x=3,4,5\) соответственно.