Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 860 — стр. 211

Исходная система уравнений:
\(\begin{cases}x+x y+y=5 \\ y+y z+z=11 \\ z+z x+x=7\end{cases}\)
Преобразование системы уравнений:
\(\begin{cases}x+x y+y-y-y z-z=5-11 \\ y+y z+z-z-z x-x=11-7 \\ x+x y+y=5\end{cases}\)
\(\begin{cases}x+x y-y z-z=-6 \\ y+y z-z x-x=4 \\ x+x y+y=5\end{cases}\)
\(\begin{cases}x(1+y)-z(y+1)=-6 \\ y(1+z)-x(1+z)=4 \\ x(y+1)+y=5 \end{cases}\)
\(\begin{cases}(y+1)(x-z)=-6 \\ (z+1)(y-x)=4 \\ x=\frac{5-y}{y+1}\end{cases}\)
Подставим значения \(x\) в систему:
\(\begin{cases}5-y-z y-z=-6 \\ z y+y-\frac{(z+1)(5-y)}{y+1}=4\end{cases}\)
\(\begin{cases}y+z y+z=11 \\ z y^2+z y+y^2+y-5 z+z y-5+y=4 y+4\end{cases}\)
\(\begin{cases}y+z y+z=11 \\ z y^2+2 z y+y^2-2 y-5 z-9=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y(1+z)+z=11 \\ y^2(z+1)+2 y(z-1)-5 z-9=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{11-z}{z+1} \\ (11-z) \cdot \frac{11-z}{z+1}+2 \cdot \frac{11-z}{z+1}(z-1)-5 z-9=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{11-z}{z+1} \\ (11-z)^2+(22-2 z)(z-1)-5 z^2-5 z-9 z-9=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{11-z}{z+1} \\ 121-22 z+z^2+22 z-2 z^2-22+2 z-5 z^2-14 z-9=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{11-z}{z+1} \\ -6 z^2-12 z+90=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{11-z}{z+1} \\ z^2+2 z-15=0\end{cases}\)
\(z_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{2}\)
\(z_1=3, \quad z_2=-5\)
\(\begin{cases}z=3 \\ y=\frac{1 1 - z}{z + 1} = 2 \\ x=\frac{5 - y}{y + 1} = 1\end{cases}\) или \(\begin{cases}z=-5 \\ y=\frac{1 1 - z}{z + 1} = -4 \\ x=\frac{5 - y}{y + 1} = -3\end{cases}\)
Ответ: \((1; 2; 3), (-3; -4; -5)\).