Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 862 — стр. 211

\(\frac{1}{3} \leq \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \leq 3\)
1. Левая часть:
\(\frac{1}{3} \leq \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1}\)
Упростим неравенство:
\(3(a^2 - a + 1) \geq a^2 + a + 1\)
Раскроем скобки и упростим:
\(2a^2 - 4a + 2 \geq 0\)
Факторизуем:
\(2(a - 1)^2 \geq 0\)
Неравенство выполнено при любом \(a\)
2. Правая часть:
\(\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \leq 3\)
Упростим неравенство:
\(a^2 - a + 1 \leq 3(a^2 + a + 1)\)
Раскроем скобки и упростим:
\(2a^2 + 4a + 2 \geq 0\)
Факторизуем:
\((a + 1)^2 \geq 0\)
Неравенство выполнено при любом \(a\)
Таким образом, исходное неравенство выполняется при любом \(a\).