Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 867 — стр. 211

Для начала рассмотрим первые несколько членов последовательности:
- При \(n=1\): \(x_1=\frac{1}{1 \cdot 3}=\frac{1}{3}\)
- При \(n=2\): \(x_2=\frac{1}{3 \cdot 5}=\frac{1}{15}\)
- При \(n=3\): \(x_3=\frac{1}{5 \cdot 7}=\frac{1}{35}\)
Теперь вычислим суммы первых двух и трех членов:
- \(S_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{3 \cdot 5}=\frac{5+1}{3 \cdot 5}=\frac{2}{5}=\frac{2}{2 \cdot 2+1}\)
- \(S_3=\frac{2}{5}+\frac{1}{5 \cdot 7}=\frac{14+1}{5 \cdot 7}=\frac{3}{2 \cdot 3+1}\)
Теперь предположим, что сумму первых \(n\) членов можно найти по формуле \(S_n=\frac{n}{2n+1}\). Проверим эту формулу для \(n=k+1\):
\( \frac{1}{3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+2-1)(2k+2+1)}= \\ =\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)} \text{; }\)
Теперь решим уравнение \(2k^2+3k+1=0\):
\( 2k^2+3k+1=0 \\ k_{1,2}=\frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4} \\ k_1=-\frac{1}{2}, \\ k_2=-1 \text{; } \\ \frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2(k+\frac{1}{2})(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}-\text{доказано.}\)
\(S_n=\frac{n}{2n+1}\).