Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 870 — стр. 212

\(a_4 = a_3 + d = a_2 + 2d = a_1 + 3d\), где \(d\) - разность арифметической прогрессии.
Шаг 1: Выразим \(a_4\) через квадраты предыдущих членов:
\(a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \)
\(a_2 + 2d = a_2^2 + (a_2 - d)^2 + (a_2 + d)^2 \)
\(a_2^2 + a_2^2 - 2a_2d + d^2 + a_2^2 + 2a_2d + d^2 - a_2 - 2d = 0 \)
\(3a_2^2 + 2d^2 - a_2 - 2d = 0\)
Шаг 2: Решим уравнение относительно \(d\):
\(2d^2 - 2d + (3a_2^2 - a_2) = 0\)
\(D = 4 - 4 \cdot 2(3a_2^2 - a_2) = 4 - 24a_2^2 + 8a_2 \)
\(D \geq 0\)
\(6a_2^2 - 2a_2 - 1 \leq 0\)
Решив это уравнение, получим \(a_2 = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6}\) Так как \(a_2\) должно быть целым, \(a_2 = 0\)
Шаг 3: Найдем значение \(d\):
\(2d^2 - 2d = 0\)
\(d(d - 1) = 0\)
Таким образом, \(d = 1\)
Шаг 4: Найдем остальные члены последовательности:
\(a_1 = a_2 - d = -1\)
\(a_3 = a_2 + d = 1\)
\(a_4 = a_2 + 2d = 2\)
Шаг 5: Проверим, что полученные значения удовлетворяют условию:
\(a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\)
\(2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2\) - что и требовалось доказать.
Ответ: \(a_1 = -1, a_2 = 0, a_3 = 1, a_4 = 2\).