Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 871 — стр. 212

Дана последовательность \(x_n = \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}\) где \(a_n\) - элементы последовательности, \(d\) - разность арифметической прогрессии.
Найдем выражение для \(x_n\) в зависимости от \(a_n\) и \(a_{n+1}\):
\(x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}})(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})}=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{a_{n+1}-a_n}=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}\)
Запишем выражения для первых нескольких членов последовательности:
\(x_1 = \frac{\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}}{d}\)
\(x_2 = \frac{\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}}{d}\)
\(x_{n-1} = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}}{d}\)
\(x_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n}}{d}\)
Найдем сумму первых \(n\) членов последовательности \(S_n\):
\(S_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n\)
\( \frac{1}{d}(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1} + \sqrt{a_3} - \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})\)
\(\frac{1}{d}(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})=\frac{(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}=\frac{a_{n+1}-a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}=\frac{a_1+n d-a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})}=\frac{n}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1}}\).