Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 872 — стр. 212

Дан треугольник со сторонами \(x, xq\) и \(xq^2\), а его площадь обозначим как \(S\).
Выразим высоты треугольника:
Используем формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\) где \(a\) - сторона, \(h_a\) - высота.
Высоты треугольника будут соответственно равны:
\(h_1 = \frac{2S}{x}, \quad h_2 = \frac{2S}{xq}, \quad h_3 = \frac{2S}{xq^2}\)
Докажем, что высоты образуют геометрическую прогрессию:
Проверим, что отношение любых двух последовательных высот равно \(q\):
\(\frac{h_2}{h_1} = \frac{\frac{2S}{xq}}{\frac{2S}{x}} = \frac{x}{q} \cdot \frac{x}{2} = q \\ \frac{h_3}{h_2} = \frac{\frac{2S}{xq^2}}{\frac{2S}{xq}} = \frac{x}{q^2} \cdot \frac{xq}{2} = q\)
Отношение любых двух последовательных высот равно \(q\) следовательно, высоты образуют геометрическую прогрессию.
Ответ: высоты треугольника соответственно равны \(\frac{2S}{x}, \frac{2S}{xq}, \frac{2S}{xq^2}\) и образуют геометрическую прогрессию.