Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 873 — стр. 212

Дана арифметическая прогрессия, представленная тремя числами \(x_1, x_2\) и \(x_3\) и известна их сумма \(S_3\)
Запишем систему уравнений:
\(\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = -3 \\ x_2 = x_1q \\ x_3 = x_2q \\ S_3 = \frac{x_1(q^3 - 1)}{q - 1} = -3\end{cases}\)
Решим систему уравнений:
Рассмотрим уравнение для суммы \(S_3\):
\(\frac{x_1(q-1)(q^2+q+1)}{q-1} = -3\)
Упростим:
\(x_1(q^2 + q + 1) = -3\)
Учтем, что \(q^2 + q + 1 > 0\) при любом \(q\) и, так как \(x_1 < 0\) можем сделать вывод, что \(q^2 + q + 1\) всегда положительно.
1) Пусть \(x_1 = -1\):
\(q^2 + q + 1 = 3\)
\(q^2 + q - 2 = 0\)
\((q - 1)(q + 2) = 0\)
Таким образом, \(q = -2\) или \(q = 1\) При \(q = -2\) получаем прогрессию \(-1, 2, -4\) а при \(q = 1\) - прогрессию \(-1, -1, -1\)
2) Пусть \(x_2 = -2\):
\(q^2 + q - \frac{1}{2} = 0\)
\(2q^2 + 2q - 1 = 0\)
Дискриминант \(D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 9 > 0\) но решения \(\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\) не удовлетворяют условию целых чисел.
3) Пусть \(x_3 = -3\):
\(q^2 + q + 1 = 1\)
\(q^2 + q = 0\)
\(q(q + 1) = 0\)
Таким образом, \(q = 0\) или \(q = -1\) При \(q = 0\) решения не удовлетворяют условию, а при \(q = -1\) получаем прогрессию \(-3, 3, -3\)
4) Пусть \(x_4 = -4\):
\(4q^2 + 4q + 1 = 0\)
\((2q + 1)^2 = 0\)
Таким образом, \(q = -\frac{1}{2}\) При этом получаем прогрессию \(-4, 2, -1\)
5) Пусть \(x_5 = -5\):
\(5q^2 + 5q + 2 = 0\)
Дискриминант \(D = 25 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = -15 < 0\) что означает отсутствие действительных решений.
Ответ: возможны следующие последовательности: \(-1, 2, -4;-1, -1, -1;-3, 3, -3;-4, 2, -1\).