Rainbow English
2018
Докажите, что при любом натуральном значении \(n > 1\) верно неравенство
\(\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1.\)
1) \(\frac{1}{2}<1, \frac{3}{4}<1<\frac{2 n-1}{2 n}<1\)
Следовательно, \(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 n}<1\) и \(\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 n}}<1\)
2) \(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 n}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}\)
\(\frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}>\frac{1}{2^{n-1}} \\ \frac{3}{2}>1, \frac{5}{3}>1, \frac{2 n-1}{n}>1 \)
Следовательно, \(\frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}>\frac{1}{2^{n-1}}\) и \(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 n}>\frac{1}{2^n}, \sqrt(n){\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 n}}>\frac{1}{2}\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Докажите, что при любом натуральном значении \(n > 1\) верно неравенство \(\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1.\)
Еще решебники за 9 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 9 класс, которые могут быть Вам интересны.
