Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 876 — стр. 212

Рассмотрим первое уравнение:

\(\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}\)

Пусть \(y = \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}\)

Тогда: \(y^3=(\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7})^3= \)

\(=\sqrt{50}+7-3 \sqrt[3]{(\sqrt{50}+7)^2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{50}-7}+3 \sqrt[3]{\sqrt{50}+7} \cdot \sqrt[3]{(\sqrt{50}-7)^2} -\sqrt{50}+7=\\=14-3 \sqrt[3]{\sqrt{50}+7}+3 \sqrt[3]{\sqrt{50}-7}=14-3 y \\ y^3+3 y-14=0 \\ (y-2)(y^2+2 y+7)=0\)

Теперь проверим корни уравнения:

1) \(y^2+2y+1=-6\)

Но \((y+1)^2=-6\) решений нет.

2) \(y-2=0\)

Отсюда получаем \(y=2\)

Итак, \(\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}=2\).

Теперь второе уравнение:

\(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)

Пусть \(z = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)

Тогда:

\(z^3=2+\sqrt{5}+3 \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}+3 \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{(2-\sqrt{5})^2}+2-\sqrt{5}=\\=4+3 \sqrt[3]{(-1) \cdot(2+\sqrt{5})}+3 \sqrt[3]{(-1) \cdot(2-\sqrt{5})}=4-3 z \\ z^3+3 z-4=0 \\ (z-1)(z^2+z+4)=0\)

Теперь проверим корни уравнения:

1) \(z^2+z+\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}\)

Уравнение принимает вид \((z+\frac{1}{2})^2=-\frac{15}{4}\) и корней нет.

2) \(z-1=0\)

Отсюда получаем \(z=1\)

Итак, \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1\).