Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 877 — стр. 212

Рассмотрим данное уравнение:
$x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$
$2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx$
$(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=0$
$(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2=0$
Мы преобразили исходное уравнение, выделив полные квадраты. Теперь рассмотрим полученное выражение $(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2=0$
Каждое из слагаемых неотрицательно, так как это квадраты реальных чисел. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:
$(x-y{)}^2=0$
$(y-z{)}^2=0$
$(z-x{)}^2=0$
Это означает, что каждое из выражений в скобках равно нулю, что приводит к следующему:
$x-y=0$
$y-z=0$
$z-x=0$
Эти уравнения означают, что $x=y=z$. Таким образом, решение исходного уравнения $x=y=z$.