ГДЗ по алгебре за 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова - Алгебра - Учебник

Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 877 — стр. 212

Докажите, что если x2+y2+z2=xy+yz+zx, то x=y=z.

Рассмотрим данное уравнение:
x2+y2+z2=xy+yz+zx
2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2zx
(x22xy+y2)+(y22yz+z2)+(z22zx+x2)=0
(xy)2+(yz)2+(zx)2=0
Мы преобразили исходное уравнение, выделив полные квадраты. Теперь рассмотрим полученное выражение (xy)2+(yz)2+(zx)2=0
Каждое из слагаемых неотрицательно, так как это квадраты реальных чисел. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:
(xy)2=0
(yz)2=0
(zx)2=0
Это означает, что каждое из выражений в скобках равно нулю, что приводит к следующему:
xy=0
yz=0
zx=0
Эти уравнения означают, что x=y=z. Таким образом, решение исходного уравнения x=y=z.

Решебник

"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.

Aвторы:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

Задание

Докажите, что если x2+y2+z2=xy+yz+zx, то x=y=z.