Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 877 — стр. 212

Рассмотрим данное уравнение:
\(x^2+y^2+z^2=x y+y z+z x \)
\(2 x^2+2 y^2+2 z^2=2 x y+2 y z+2 z x\)
\((x^2-2 x y+y^2)+(y^2-2 y z+z^2)+(z^2-2 z x+x^2)=0\)
\((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
Мы преобразили исходное уравнение, выделив полные квадраты. Теперь рассмотрим полученное выражение \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
Каждое из слагаемых неотрицательно, так как это квадраты реальных чисел. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:
\((x-y)^2=0\)
\((y-z)^2=0\)
\((z-x)^2=0\)
Это означает, что каждое из выражений в скобках равно нулю, что приводит к следующему:
\(x-y=0 \)
\(y-z=0 \)
\(z-x=0\)
Эти уравнения означают, что \(x=y=z\). Таким образом, решение исходного уравнения \(x=y=z\).