Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 879 — стр. 212

В начале мы имеем:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2z^2=0\\ x+y+z=8\\ xy=-z^2\end{array}$
Преобразуем уравнения:
$\{\begin{array}{l}-z^2=xy\\ x^2+y^2+2xy=0\\ x+y+z=8\end{array}$
Избавимся от квадратных степеней, выражая $(x+y{)}^2$ через $x$ и $y:$
$\{\begin{array}{l}-z^2=xy\\ (x+y{)}^2=0\\ x+y+z=8\end{array}$
Используем полученные уравнения, чтобы выразить $x$ $y$ и $z:$
$\{\begin{array}{l}-z^2=xy\\ x=-y\\ z=8\end{array}$
Подставим $x=-y$ и $z=8$ в уравнение $-z^2=xy:$
$\{\begin{array}{l}z=8\\ x=-y\\ y^2=64\end{array}$
Решим систему уравнений:
$\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=8\\ z=8\end{array}$ или $\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-8\\ z=8\end{array}$
Итак, получаем ответ: $(-8,8,8)$ и $(8,-8,8)$.