Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 879 — стр. 212

В начале мы имеем:
\(\begin{cases}x^2+y^2-2 z^2=0 \\ x+y+z=8 \\ x y=-z^2\end{cases}\)
Преобразуем уравнения:
\(\begin{cases}-z^2=x y \\ x^2+y^2+2 x y=0 \\ x+y+z=8\end{cases}\)
Избавимся от квадратных степеней, выражая \((x+y)^2\) через \(x\) и \(y:\)
\(\begin{cases}-z^2=x y \\ (x+y)^2=0 \\ x+y+z=8\end{cases}\)
Используем полученные уравнения, чтобы выразить \(x\) \(y\) и \(z:\)
\(\begin{cases}-z^2=x y \\ x=-y \\ z=8\end{cases}\)
Подставим \(x=-y\) и \(z=8\) в уравнение \(-z^2=x y:\)
\(\begin{cases}z=8 \\ x=-y \\ y^2=64\end{cases}\)
Решим систему уравнений:
\(\begin{cases}x=-8 \\ y=8\\z=8\end{cases}\) или \(\begin{cases}x=8 \\ y=-8 \\ z=8\end{cases}\)
Итак, получаем ответ: \((-8, 8, 8)\) и \((8, -8, 8)\).