Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 880 — стр. 212

В начале, мы имеем:
\(\begin{cases}x+y+z=14 \\ x+y z=19\end{cases}\)
Преобразуем уравнение:
\(\begin{cases}x=14-y-z \\ 14-y-z+y z=19\end{cases}\)
Упростим и решим уравнение:
\(\begin{cases}x=14-y-z \\ y(z-1)-(z-1)=6\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=14-y-z \\ (z-1)(y-1)=6\end{cases}\)
Теперь у нас есть два уравнения:
- \(x=14-y-z\)
- \((z-1)(y-1)=6\)
Рассмотрим возможные комбинации факторов числа \(6:\)
- \(1 \times 6\)
- \(2 \times 3\)
Решим системы для каждой комбинации:
1) \(z-1=1, y-1=6\)
\(\begin{cases}z=2 \\ y=7 \\ x=5\end{cases}\)
2) \(z-1=6, y-1=1\)
\(\begin{cases}z=7 \\ y=2 \\ x=5\end{cases}\)
3) \(z-1=2, y-1=3\)
\(\begin{cases}z=3 \\ y=4 \\ x=7\end{cases}\)
4) \(z-1=3, y-1=2\)
\(\begin{cases}z=4 \\ y=3 \\ x=7\end{cases}\)
Итак, получаем ответ: \((5, 7, 2)\) \((5, 2, 7)\) \((7, 4, 3)\) \((7, 3, 4)\).