Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 889 — стр. 213

Задано уравнение \(\sqrt[3]{(65+x)^2}+4 \sqrt[3]{(65-x)^2}-5 \sqrt[3]{65^2-x^2}=0\)
Предположим, что \(\sqrt[3]{65+x}=n\) и \(\sqrt[3]{65-x}=m\)
Используем это предположение для переписывания выражения \(\sqrt[3]{65^2-x^2}=\sqrt[3]{65+x}\cdot\sqrt[3]{65-x}=nm\)
Подставим значения \(n\) и \(m\) обратно в уравнение, получив \(n^2+4m^2-5nm=0\)
Преобразуем уравнение до вида \((n-m)(n-4m)=0\)
Рассмотрим два случая:
- Случай 1: \(n-m=0\) что влечет \(n=m\) и, следовательно, \(x=0\)
- Случай 2: \(n-4m=0\) что влечет \(n=4m\). Подставим это обратно в уравнение и решим для \(x\) получив \(x=63\)
Таким образом, ответ: \(x=0, x=63\).