§ 10 Относительность движения — Упражнение 10 — 2 — стр. 48

Пусть \(x\) — собственная скорость парохода, а \(y\) — скорость течения реки (и плота).

При движении от Нижнего Новгорода до Астрахани пароход плывёт по течению, и его скорость равна \(x + y\). На обратном пути он движется против течения со скоростью \(x - y\). В обоих случаях пароход преодолевает одинаковое расстояние, которое выражается как произведение скорости на время. Известно, что время движения по течению составляет 5 суток, а против течения — 7 суток.

Составим уравнение, описывающее эти условия:
\(5(x + y) = 7(x - y).\)

Раскроем скобки:
\(5x + 5y = 7x - 7y.\)

Соберём \(x\) и \(y\) в разные части уравнения:
\(2x = 12y.\)

Выразим \(x\) через \(y\):
\(x = 6y.\)

Отсюда видно, что собственная скорость парохода в 6 раз больше скорости реки. Значит, его скорость по течению равна:
\(x + y = 6y + y = 7y.\)

Плот, плывущий только по течению, имеет скорость \(y\), которая в 7 раз меньше скорости парохода при движении вниз по течению. Поэтому времени для преодоления того же расстояния плоту понадобится в 7 раз больше, чем пароходу по течению.

Пароходу потребовалось 5 суток, следовательно:
\(t_{\text{плота}} = 7 \cdot 5 = 35 \, \text{суток}.\)

Ответ: 35 суток.