§ 21 Искусственные спутники Земли — Упражнение 21 — 4 — стр. 103

Дано:
- Высота подъема ракеты: \( h = 3200 \, \text{км} = 3,2 \times 10^6 \, \text{м} \)
- Время падения: \( t = 1 \, \text{с} \)
- Радиус Земли: \( R = 6,4 \times 10^6 \, \text{м} \)
- Гравитационная постоянная: \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 \)
- Масса Земли: \( M = 6 \times 10^{24} \, \text{кг} \)

Шаг 1: Ускорение свободного падения на высоте 3200 км

Для определения ускорения свободного падения на высоте \( h \) от поверхности Земли используем формулу:

\(g_h = \frac{GM}{(R + h)^2}\)

Подставляем данные:

\(g_h = \frac{(6,67 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24})}{(6,4 \times 10^6 + 3,2 \times 10^6)^2}\)

Вычисляем знаменатель:

\(R + h = 6,4 \times 10^6 + 3,2 \times 10^6 = 9,6 \times 10^6 \, \text{м}\)

Теперь подставляем в формулу:

\(g_h = \frac{6,67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(9,6 \times 10^6)^2}\)

Вычисляем:

\(g_h = \frac{4,002 \times 10^{14}}{9,216 \times 10^{13}} \approx 4,34 \, \text{м/с}^2\)

Шаг 2: Путь, пройденный за первую секунду

Теперь, когда мы нашли ускорение свободного падения, можно вычислить путь, пройденный ракетой за первую секунду падения. Для этого используем формулу для пути при равномерном ускорении:

\(S = \frac{1}{2} g_h t^2\)

Подставляем \( g_h = 4,34 \, \text{м/с}^2 \) и \( t = 1 \, \text{с} \):

\(S = \frac{1}{2} \times 4,34 \times 1^2 = 2,17 \, \text{м}\)

Таким образом, ракета пройдёт путь около 2,17 метров за первую секунду падения.