§ 22 Условия равновесия тел. Центр тяжести тела — Упражнение 22 — 1 — стр. 110

Однородный стержень с подвешенным на одном конце грузом весом 120 Н находится в горизонтальном равновесии, если его подпереть на расстоянии 1/5 длины стержня от груза. Нужно найти вес стержня.

Обозначим длину стержня как \( l \). Тогда длина одного плеча будет равна \( \frac{1}{5}l \), а длина другого — \( \frac{4}{5}l \). Так как стержень однородный, его вес распределяется пропорционально длине. Вес короткого плеча составит \( \frac{1}{5}P \), а вес длинного плеча — \( \frac{4}{5}P \), где \( P \) — общий вес стержня.

Центр тяжести короткого плеча будет находиться на расстоянии \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}l = \frac{l}{10} \), а центра тяжести длинного плеча — на расстоянии \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}l = \frac{2}{5}l \).

Для равновесия рычага условие таково:
\(М = М_1 + М_2\)

Где:
- \( М \) — момент силы от всего стержня,
- \( М_1 \) — момент силы от короткого плеча,
- \( М_2 \) — момент силы от длинного плеча.

Запишем уравнение для моментов:
\(P \times l = \left( \frac{1}{5}P \times \frac{l}{10} \right) + \left( 120 \times \frac{l}{5} \right)\)

Упростим:
\(\frac{8}{25}P \times l = \frac{1}{50}P \times l + 24l\)

Разделим обе стороны на \( l \):
\(\frac{8}{25}P = \frac{1}{50}P + 24\)

Домножим на 50 обе части:
\(16P = P + 1200\)

Теперь решим относительно \( P \):
\(15P = 1200\)

\(P = \frac{1200}{15} = 80 \, Н\)

Ответ: вес стержня равен 80 Н.