§ 28 Закон сохранения механической энергии — Упражнение 27 — 1 — стр. 139

Дано:
- Начальная высота \( h_1 = 1{,}8 \, \text{м} \),
- Начальная скорость \( v_1 = 8 \, \text{м/с} \),
- Ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \).

Шаг 1. Определим время падения
Уравнение движения при вертикальном падении:
\(h = v_1 t + \frac{g t^2}{2}.\)

Подставим значения:
\(1{,}8 = 8t + 5t^2.\)

Это квадратное уравнение имеет вид:
\(5t^2 + 8t - 1{,}8 = 0.\)

Решаем его через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1{,}8) = 64 + 36 = 100.\)

Корни уравнения:
\(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2 \cdot 5}.\)

Вычисляем:
\(t_1 = \frac{-8 + 10}{10} = 0{,}2 \, \text{с}, \quad t_2 = \frac{-8 - 10}{10} = -1{,}8 \, \text{с}.\)

Отрицательное время \( t_2 \) не имеет физического смысла, значит \( t = 0{,}2 \, \text{с} \).

Шаг 2. Определим скорость удара о землю
Скорость рассчитывается по формуле:
\(v = v_1 + g t.\)

Подставим значения:
\(v = 8 + 10 \cdot 0{,}2 = 8 + 2 = 10 \, \text{м/с}.\)

Шаг 3. Определим высоту подъёма после отскока
После удара о землю мяч поднимется вверх, его конечная скорость на максимальной высоте \( v_2 = 0 \).
Для определения высоты используем формулу:
\(v_2^2 - v^2 = -2 g h_2.\)

Подставим значения:
\(0 - 10^2 = -2 \cdot 10 \cdot h_2.\)

Упростим:
\(-100 = -20 h_2, \quad h_2 = \frac{100}{20} = 5 \, \text{м}.\)

Ответ:
Мяч отскочит на высоту \( h_2 = 5 \, \text{м} \).