§ 32 Затухающие колебания. Вынужденные колебания — Упражнение 31 — 4 — стр. 159

Дано:
- Начальная скорость \( v_0 = 1 \, \text{м/с} \).
- Энергия уменьшается в два раза через пять колебаний.

Решение:
Затухающие колебания связаны с тем, что механическая энергия системы постепенно теряется из-за силы трения или других факторов. В данном случае, энергия через 5 колебаний уменьшилась в 2 раза.

Для затухающих колебаний энергия пропорциональна квадрату скорости. Это можно записать как:
\( E_1 = \frac{1}{2}m v_1^2 \quad \text{и} \quad E_2 = \frac{1}{2}m v_2^2 \)

Поскольку энергия уменьшилась в два раза, имеем:
\( E_2 = \frac{E_1}{2} \)

Отсюда:
\( \frac{1}{2}m v_2^2 = \frac{1}{2}m v_1^2 / 2 \)

Сокращаем на массу и на 1/2:
\( v_2^2 = \frac{v_1^2}{2} \)

Подставляем значение начальной скорости \( v_1 = 1 \, \text{м/с} \):
\( v_2^2 = \frac{1^2}{2} = 0.5 \)

Теперь находим скорость \( v_2 \):
\( v_2 = \sqrt{0.5} \approx 0.71 \, \text{м/с} \)

Ответ: \( v_2 \approx 0.71 \, \text{м/с} \).