§ 9 Скорость при криволинейном движении. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — Упражнение 9 — 6 — стр. 43

Дано:
- Радиусы вращения минутной и секундной стрелок одинаковы: \( R_c = R_m = R \),
- Период обращения секундной стрелки: \( T_c = 60 \, \text{с} \),
- Период обращения минутной стрелки: \( T_m = 3600 \, \text{с} \).

Найдём отношение ускорений:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

\(a_c = \frac{v^2}{R},\)

где \( v \) — линейная скорость. Линейная скорость связана с угловой скоростью через радиус: \( v = \omega R \). Подставляем \( v = \omega R \) в выражение для ускорения:

\(a_c = \omega^2 R.\)

Угловая скорость \( \omega \) связана с периодом обращения:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}.\)

Таким образом, центростремительное ускорение выражается как:

\(a_c = \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}.\)

Ускорения секундной и минутной стрелок:
Для секундной стрелки:

\(a_c = \frac{4\pi^2 R}{T_c^2}.\)

Для минутной стрелки:

\(a_m = \frac{4\pi^2 R}{T_m^2}.\)

Отношение ускорений:

\(\frac{a_c}{a_m} = \frac{\frac{4\pi^2 R}{T_c^2}}{\frac{4\pi^2 R}{T_m^2}} = \frac{T_m^2}{T_c^2}.\)

Подставляем значения \( T_m = 3600 \, \text{с} \) и \( T_c = 60 \, \text{с} \):

\(\frac{a_c}{a_m} = \frac{3600^2}{60^2}.\)

Выполняем вычисления:

\(\frac{a_c}{a_m} = \frac{12960000}{3600} = 3600.\)

Ответ:
Отношение ускорений равно \( 3600 \). Секундная стрелка движется с большим ускорением, так как она имеет меньший период обращения и, следовательно, большее угловое ускорение.