Задачи для повторения — Задачи для повторения — 28 — стр. 336

Формула для центростремительного ускорения при движении по окружности:

\(a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{r},\)

где \( v \) — линейная скорость, \( r \) — радиус окружности.

Формула для ускорения свободного падения на высоте \( h \) над Землёй:

\(g = \frac{g_0 R_3^2}{(R_3 + h)^2},\)

где \( g_0 \) — ускорение свободного падения на поверхности Земли, \( R_3 \) — радиус Земли, \( h \) — высота над поверхностью.

Теперь, чтобы получить первую космическую скорость на высоте \( h \), нужно использовать формулу центростремительного ускорения для движения по орбите Земли. На орбите центростремительное ускорение равно ускорению свободного падения:

\(a_{\text{ц}} = g.\)

Подставляем выражение для \( g \) и для \( a_{\text{ц}} \):

\(\frac{v^2}{R_3 + h} = \frac{g_0 R_3^2}{(R_3 + h)^2}.\)

Умножаем обе части уравнения на \( (R_3 + h)^2 \) и решаем относительно \( v \):

\(v^2 = \frac{g_0 R_3^2}{R_3 + h}.\)

Теперь извлекаем корень:

\(v = \sqrt{\frac{g_0 R_3^2}{R_3 + h}}\).