§4. Квадратичная функция и ее график — Дополнительные упражнения к параграфу 4 — 203 — стр. 70

Квадратичная функция \(y = ax^2 + c\) имеет нули тогда и только тогда, когда её значение равно нулю. То есть, чтобы найти значения \(a\) и \(c\), при которых функция имеет нули, нужно приравнять функцию к нулю и решить полученное уравнение:
\(ax^2 + c = 0\)

Учитывая, что \(a\) и \(c\) - произвольные числа, чтобы уравнение имело решение, \(a\) должно быть отлично от нуля, иначе у нас получится линейная функция. Таким образом, \(a \neq 0\).

Решение уравнения можно представить в виде:
\(x^2 = -\frac{c}{a}\)

Отсюда видно, что если \(-\frac{c}{a} \geq 0\), то у уравнения есть решения, так как квадрат вещественного числа неотрицателен. Следовательно, для существования нулей квадратичной функции, необходимо и достаточно, чтобы \(-\frac{c}{a} \geq 0\).