§5. Уравнения с одной переменной — 13. Целое уравнение и его корни — 222 — стр. 78

$(x^2+3{)}^2-11(x^2+3)+28=0$

Введем новую переменную $z=x^2+3$.

Тогда уравнение примет вид:

$z^2-11z+28=0$

Решим квадратное уравнение для $z$:

$z_{1,2}=\frac{11\pm \sqrt{121-112}}{2}$

$z_1=7,z_2=4$

Теперь решим уравнения для $x$ относительно $z$:

1. $x^2+3=7$:

$x^2=4,x_{1,2}=\pm 2$

2. $x^2+3=4$:

$x^2=1,x_{3,4}=\pm 1$

Ответ: $x_1=2,x_2=-2,x_3=1,x_4=-1$.

$(x^2-4x{)}^2+9(x^2-4x)+20=0$

Введем новую переменную $z=x^2-4x$.

Тогда уравнение примет вид:

$z^2+9z+20=0$

Решим квадратное уравнение для $z$:

$z_{1,2}=\frac{-9\pm \sqrt{81-80}}{2}$

$z_1=-4,z_2=-5$

Теперь решим уравнения для $x$ относительно $z$:

1. $x^2-4x=-4$:

$(x-2{)}^2=0$$x_1=2$

2. $x^2-4x=-5$:

$D=16-20=-4<0$

Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x_1=2$.

$(x^2+x)(x^2+x-5)=84$

Введем новую переменную $z=x^2+x$.

Тогда уравнение примет вид:

$z(z-5)=84$

Решим квадратное уравнение для $z$:

$z^2-5z-84=0$

$z_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25+336}}{2}$

$z_1=12,z_2=-7$

Теперь решим уравнения для $x$ относительно $z$:

1. $x^2+x=12$:

$x^2+x-12=0$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$$x_1=3,x_2=-4$

2. $x^2+x=-7$:

$D=1-28=-27<0$

Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x_1=3,x_2=-4$.