§5. Уравнения с одной переменной — 13. Целое уравнение и его корни — 223 — стр. 78

$x^4-5x^2-36=0$

Заменяем переменную: $z=x^2$.

Получаем уравнение: $z^2-5z-36=0$.

Решаем квадратное уравнение: $z_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25+144}}{2}$.

Получаем два значения для $z$: $z_1=9$ и $z_2=-4$.

Поскольку $z$ должно быть неотрицательным, отбрасываем $z_2$.

Решаем $x^2=9$, получаем два значения: $x_{1,2}=\pm 3$.

Таким образом, корни уравнения $x^4-5x^2-36=0$ это $x=\pm 3$.

$y^4-6y^2+8=0$

Заменяем переменную: $z=y^2$.

Получаем уравнение: $z^2-6z+8=0$.

Решаем квадратное уравнение: $z_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-32}}{2}$.

Получаем два значения для $z$: $z_1=4$ и $z_2=2$.

Решаем $y^2=4$, получаем два значения: $y_{1,2}=\pm 2$.

Решаем $y^2=2$, получаем два значения: $y_{3,4}=\pm \sqrt{2}$.

Таким образом, корни уравнения $y^4-6y^2+8=0$ это $y=\pm 2$ и $y=\pm \sqrt{2}$.

$t^4+10t^2+25=0$

Заменяем переменную: $z=t^2$.

Получаем уравнение: $z^2+10z+25=0$.

Факторизуем: $(z+5{)}^2=0$.

Получаем одно значение $z=-5$, но оно не удовлетворяет условию $z\ge 0$.

Таким образом, у уравнения $t^4+10t^2+25=0$ нет действительных корней.

$4x^4-5x^2+1=0$

Заменяем переменную: $z=x^2$.

Получаем уравнение: $4z^2-5z+1=0$.

Решаем квадратное уравнение: $z_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{8}$.

Получаем два значения для $z$: $z_1=1$ и $z_2=\frac{1}{4}$.

Решаем $x^2=1$, получаем два значения: $x_{1,2}=\pm 1$.

Решаем $x^2=\frac{1}{4}$, получаем два значения: $x_{3,4}=\pm \frac{1}{2}$.

Таким образом, корни уравнения $4x^4-5x^2+1=0$ это $x=\pm 1$ и $x=\pm \frac{1}{2}$.

$9x^4-9x^2+2=0$

Заменяем переменную: $z=x^2$.

Получаем уравнение: $9z^2-9z+2=0$.

Решаем квадратное уравнение: $z_{1,2}=\frac{9\pm \sqrt{81-72}}{18}$.

Получаем два значения для $z$: $z_1=\frac{2}{3}$ и $z_2=\frac{1}{3}$.

Решаем $x^2=\frac{2}{3}$, получаем два значения: $x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Решаем $x^2=\frac{1}{3}$, получаем два значения: $x_{3,4}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, корни уравнения $9x^4-9x^2+2=0$ это $x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ и $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$16y^4-8y^2+1=0$

Заменяем переменную: $z=y^2$.

Получаем уравнение: $16z^2-8z+1=0$.

Решаем квадратное уравнение: $z_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-64}}{32}$.

Получаем одно значение для $z$: $z=\frac{1}{4}$.

Решаем $y^2=\frac{1}{4}$, получаем два значения: $y_{1,2}=\pm \frac{1}{2}$.

Таким образом, корни уравнения $16y^4-8y^2+1=0$ это $y=\pm \frac{1}{2}$.