§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 237 — стр. 83

\(\frac{a+1}{a-2}+\frac{a-4}{a+1}=\frac{3a+3}{a^2-a-2}\)

Общий знаменатель для левой стороны равенства: \(a^2-a-2\). Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы привести к общему знаменателю:

\(\frac{(a+1)^2+(a-4)(a-2)}{a^2-a-2}=\frac{3a+3}{a^2-a-2}\)

Упростим числитель и вынесем общий множитель:

\(\frac{a^2+2a+1+(a-4)(a-2)}{a^2-a-2}=\frac{3a+3}{a^2-a-2}\)

\(\frac{a^2+2a+1+(a^2-6a+8)}{a^2-a-2}=0\)

\(\frac{2a^2-7a+9}{a^2-a-2}=0\)

Решив уравнение \(2a^2-7a+9=0\), получим два корня:

\(a_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-72}}{4} \\a_1=2\text{ (не входит в ОДЗ)} \\a_2=1,5\)

Ответ: При \(a=1,5\).

\(\frac{3a-5}{a^2-1}-\frac{6a-5}{a-a^2}=\frac{3a+2}{a^2+a}\)

Общий знаменатель для левой стороны равенства: \(a^2+a\). Умножим каждую дробь на соответствующий множитель:

\(\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)}-\frac{6a-5}{a(1-a)}-\frac{3a+2}{a(a+1)}=0\)

Упростим числитель:

\(\frac{(3a-5)a+(6a-5)(a+1)-(3a+2)(a-1)}{(a-1)(a+1)a}=0\)

\(\frac{3a^2-5a+6a^2-5a-5+6a-3a^2-2a+3a+2}{(a-1)(a+1)a}=0\)

\(\frac{6a^2-3a-3}{(a-1)(a+1)a}=0\)

Решив уравнение \(6a^2-3a-3=0\), получим два корня:

\(a_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+72}}{4} \\a_1=1\text{ (не входит в ОДЗ)} \\a_2=-\frac{1}{2}\)

Ответ: При \(a=-\frac{1}{2}\).