§5. Уравнения с одной переменной — 14. Дробные рациональные уравнения — 248 — стр. 84

В данной задаче есть две бригады, выполняющие работы со скоростями \(x\) и \(y\). Объем работы обозначен как \(z\). Давайте разберемся с условиями задачи.
1. Общий объем работы и время выполнения:
- Общий объем работы, выполненный обеими бригадами, равен \(5(x+y)\).
- Первая бригада заканчивает работу за 9 дней, что равно \(9x\).
Это приводит нас к уравнению:
\(5(x+y) + 9x = z \quad \text{(1)}\)
2. Время выполнения всего объема работы:
- Для первой бригады время выполнения всего объема работы \(\frac{z}{x}\).
- Для второй бригады время выполнения всего объема работы \(\frac{z}{y}\).
- Условие связи между временем выполнения обеих бригад: \(\frac{z}{x} = \frac{z}{y} + 12\).
Получаем уравнение:
\(\frac{z}{x} = \frac{z}{y} + 12 \quad \text{(2)}\)
3. Составление системы уравнений:
- Сложим (1) и (2):
\( \frac{5(x+y)}{x} + 9 = \frac{5(x+y)}{y} + \frac{9x}{y} + 12\)
- Упростим и получим квадратное уравнение:
\( \frac{5y}{x} - \frac{14x}{y} - 3 = 0\)
- Подставим \(\frac{y}{x} = w\) и решим уравнение:
\( 5w^2 - 3w - 14 = 0\)
- Получаем два корня: \(w_1 = -\frac{14}{5}\) и \(w_2 = 2\).
4. Выбор подходящего корня:
- Из условия задачи \(w > 0\), поэтому \(w_2 = 2\) - подходящий корень.
- Теперь мы знаем, что \(\frac{y}{x} = 2\), и можем использовать это для дальнейших вычислений.
5. Нахождение времени выполнения \(z\):
- Используем формулу \(Z = \frac{12xy}{y-x}\).
- Подставим \(\frac{y}{x} = 2\):
\( \frac{z}{y} = \frac{12x}{y-x} = \frac{12}{2-1} = 12\)
- Также найдем \(\frac{z}{x} = \frac{z}{y} + 12 = 12 + 12 = 24\).
Ответ:
- Если бы вторая бригада выполняла всю работу, это заняло бы 12 дней.
- Если бы первая бригада выполняла всю работу, это заняло бы 24 дня.