§6. Неравенства с одной переменной — 17. Решение неравенств методом интервалов — 298 — стр. 98

Рассмотрим неравенство $\frac{5x+4}{x}<4$. Область допустимых значений: $x\ne 0$. Умножим обе стороны на $x$ (поскольку $x$ не может быть равным нулю): $5x+4-4x<0$. Упростим: $x+4<0$. Это неравенство дает корни $x_1=-4$ и $x_2=0$. Однако, так как $x\ne 0$, мы выбираем $x_1=-4$. Таким образом, $x\in (-4,0)$.

Рассмотрим неравенство $\frac{6x+1}{x+1}>1$. Область допустимых значений: $x\ne -1$. Умножим обе стороны на $(x+1)$ (поскольку $x+1$ не может быть равным нулю): $6x+1-x-1>0$. Упростим: $5x>0$. Это неравенство дает корни $x_1=-\mathrm{\infty }$, $x_2=-1$, и $x_3=0$. Однако, так как $x\ne -1$, мы выбираем $x_3=0$. Таким образом, $x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,+\mathrm{\infty })$.

Рассмотрим неравенство $\frac{x}{x-1}\ge 2$. Область допустимых значений: $x\ne 1$. Умножим обе стороны на $(x-1)$ (поскольку $x-1$ не может быть равным нулю): $x-2x+2\ge 0$. Упростим: $-x+2\ge 0$. Это неравенство дает корни $x_1=2$ и $x_2=1$. Однако, так как $x\ne 1$, мы выбираем $x_1=2$. Таким образом, $x\in (1,2]$.

Рассмотрим неравенство $\frac{3x-1}{x+2}\ge 1$. Область допустимых значений: $x\ne -2$. Умножим обе стороны на $(x+2)$ (поскольку $x+2$ не может быть равным нулю): $3x-1-x-2\ge 0$. Упростим: $2x-3\ge 0$. Это неравенство дает корни $x_1=1.5$ и $x_2=-2$. Однако, так как $x\ne -2$, мы выбираем $x_1=1.5$. Таким образом, $x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup [1.5,+\mathrm{\infty })$.