§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 323 — стр. 105

Рассмотрим уравнение \(2x^7+x^6+2x^4+x^3+2x+1=0\):

\(2x(x^6+x^3+1)+x^6+x^3+1=0\)

\((x^6+x^3+1)(2x+1)=0\)

Рассмотрим два случая:

1. \(x^6+x^3+1=0\)

Положим \(x^3=z\), тогда уравнение примет вид \(z^2+z+1=0\). Дискриминант этого уравнения отрицателен (\(D=-3\)), следовательно, корней нет.

2. \(2x+1=0\)

\(x=-\frac{1}{2}\)

Ответ: \(x=-\frac{1}{2}\).

Рассмотрим уравнение \(x^7-2x^6+2x^4-4x^3+x-2=0\):

\(x^6(x-2)+2x^3(x-2)+x-2=0\)

\((x-2)(x^6+2x^3+1)=0\)

Рассмотрим два случая:

1. \(x-2=0\)

\(x_{1}=2\)

2. \(x^6+2x^3+1=0\)

Положим \(x^3=z\), тогда уравнение примет вид \(z^2+2z+1=0\), что равносильно \((z+1)^2=0\). Отсюда \(z=-1\), а значит \(x^3=-1\), и \(x_{2}=-1\).

Ответ: \(x_{1}=2, x_{2}=-1\).