Решите уравнение:
а) \(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2}-16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^{2}=15\);
б) \(\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^{2}-9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^{2}=8\).
Рассмотрим уравнение:
\(\frac{x^{4}}{x^{2}-2}+\frac{1-4 x^{2}}{2-x^{2}}+4=0\)
Область допустимых значений: \(x^{2}-2 \neq 0\)
То есть \(x^{2} \neq 2\), \(x \neq \pm \sqrt{2}\)
Приведем уравнение к общему знаменателю:
\(\frac{x^{4}}{x^{2}-2}-\frac{1-4 x^{2}}{x^{2}-2}+4=0\)
\(\frac{x^{4}-1+4 x^{2}+4 x^{2}-8}{x^{2}-2}=0\)
\(x^{4}+8 x^{2}-9=0\)
Введем замену \(x^{2}=y, y \geq 0\):
\(y^{2}+8 y-9=0\)
\(y_{1,2}=\frac{-8 \pm \sqrt{64+36}}{2}\)
\(y_{1}=1\)
\(y_{2}=-9-\text{ не соответствует условию}\)
\(x^{2}=1\)
Ответ: \(x= \pm 1\).
Рассмотрим уравнение:
\(\frac{x^{2}+3}{x^{2}+1}+\frac{2}{x^{2}-4}+\frac{10}{x^{4}-3 x^{2}-4}=0\)
\(\frac{(x^{2}+3)(x^{2}-4)+2(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}-4)}+\frac{10}{x^{4}-3x^{2}-4}=0\)
\(\frac{x^{4}-4x^{2}+3x^{2}-12+2x^{2}+2+10}{x^{4}-3x^{2}-4}=0\)
Область допустимых значений: \(\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4\right) \neq 0\)
То есть \(x^{2}-4 \neq 0\), \(x^{2} \neq 4\), \(x \neq \pm 2\)
Приведем уравнение к виду \(x^{4}+x^{2}=0\):
\(x^{2}=y, y \geq 0\)
\(y^{2}+y=0\)
\(y(y+1)=0\)
\(y_{1}=0\)
\(y_{2}=-1-\text{ не соответствует условию}\)
\(x^{2}=0\)
\(x=0\)
Ответ: \(x=0\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Решите уравнение: а) \(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2}-16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^{2}=15\); б) \(\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^{2}-9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^{2}=8\).