ГДЗ по алгебре за 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова - Алгебра - Учебник

§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 334 — стр. 106

Решите уравнение:
а) \(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2}-16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^{2}=15\);
б) \(\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^{2}-9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^{2}=8\).

а

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{x^{4}}{x^{2}-2}+\frac{1-4 x^{2}}{2-x^{2}}+4=0\)

Область допустимых значений: \(x^{2}-2 \neq 0\)

То есть \(x^{2} \neq 2\), \(x \neq \pm \sqrt{2}\)

Приведем уравнение к общему знаменателю:

\(\frac{x^{4}}{x^{2}-2}-\frac{1-4 x^{2}}{x^{2}-2}+4=0\)

\(\frac{x^{4}-1+4 x^{2}+4 x^{2}-8}{x^{2}-2}=0\)

\(x^{4}+8 x^{2}-9=0\)

Введем замену \(x^{2}=y, y \geq 0\):

\(y^{2}+8 y-9=0\)

\(y_{1,2}=\frac{-8 \pm \sqrt{64+36}}{2}\)

\(y_{1}=1\)

\(y_{2}=-9-\text{ не соответствует условию}\)

\(x^{2}=1\)

Ответ: \(x= \pm 1\).

б

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{x^{2}+3}{x^{2}+1}+\frac{2}{x^{2}-4}+\frac{10}{x^{4}-3 x^{2}-4}=0\)

\(\frac{(x^{2}+3)(x^{2}-4)+2(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}-4)}+\frac{10}{x^{4}-3x^{2}-4}=0\)

\(\frac{x^{4}-4x^{2}+3x^{2}-12+2x^{2}+2+10}{x^{4}-3x^{2}-4}=0\)

Область допустимых значений: \(\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4\right) \neq 0\)

То есть \(x^{2}-4 \neq 0\), \(x^{2} \neq 4\), \(x \neq \pm 2\)

Приведем уравнение к виду \(x^{4}+x^{2}=0\):

\(x^{2}=y, y \geq 0\)

\(y^{2}+y=0\)

\(y(y+1)=0\)

\(y_{1}=0\)

\(y_{2}=-1-\text{ не соответствует условию}\)

\(x^{2}=0\)

\(x=0\)

Ответ: \(x=0\).

Решебник

"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.

Aвторы:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

Задание

Решите уравнение: а) \(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2}-16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^{2}=15\); б) \(\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^{2}-9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^{2}=8\).