§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — Дополнительные упражнения к параграфу 7 — 501 — стр. 146

\(\begin{cases}x^2+y^2+x+y=18 \\x^2-y^2+x-y=6\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x^2+2x=24 \\ x^2-y^2+x-y=6\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+x=12 \\ 12-y^2-y=6\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+x-12=0 \\ y^2+y-6=0 \end{cases}\)

\(x^2+x-12=0\)

\(x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2}\)

\(x_1=3, \quad x_2=-4\)

\(y^2+y-6=0\)

\(y_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2}\)

\(y_1=2, \quad y_2=-3 \)

Ответ: \((3 ; 2),(-4 ; 2),(3 ;-3),(-4 ;-3)\).

\(\begin{cases}x^2y^2+xy=72 \\ x+y=6\end{cases}\)

\(xy=z\)

\(z^2+z-72=0\)

\(z_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+288}}{2}\)

\(z_1=8\)

\(z_2=-9\)

\(1) \begin{cases}xy=8 \\ x=6-y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=6-y \\ 6y-y^2-8=0\end{cases}\)

\(y^2-6y+8=0\)

\(y_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2}\)

\(y_1=4\)

\(y_2=2\)

\(2)\begin{cases}xy=-9 \\ x=6-y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=6-y \\ 6y-y^2+9=0\end{cases}\)

\(x^2+3x+14=0\)

\(y_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{36+36}}{2}=3\pm3\sqrt{2}\)

\(\begin{cases}y=3+3\sqrt{2}\\ x=3-3\sqrt{2}\end{cases}\)или \(\begin{cases}y=3-3\sqrt{2}\\ x=3+3\sqrt{2}\end{cases}\).

\(\begin{cases} (x+y)^2-2(x+y)=15 \\ x+xy+y=11\end{cases}\)

\((x+y)=z\)

\(z^2-2z=15\)

\(z^2-2z+1=16\)

\((z-1)^2=16\)

\(z-1=4\) или \(z-1=-4\)

\(1) \begin{cases} x+y-1=4 \\ x+xy+y=11\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=5-x \\ xy=6\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=5-x\\ 5x-x^2-6=0\end{cases}\)

\(x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}\)

\(x_1=3\)

\(x_2=2\)

\(\begin{cases}x =3\\ y=2\end{cases}\) или \(\begin{cases}x =2\\ y=3\end{cases}\)

\(2) \begin{cases} x+y-1=-4 \\ x+xy+y=11\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-3-x \\ xy=14\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-3-x \\ xy=14\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-3-x \\ -3x-x^2-14=0\end{cases}\)

\(D=9-4*14=-47<0\) решений нет

Ответ: \((3 ; 2),(2 ; 3)\).

\(\begin{cases} (x+y)^2-4(x+y)=45 \\ (x-y)^2-2(x-y)=3\end{cases}\)

\(x+y=z, x-y=w\)

\(\begin{cases}z^2-4z=45 \\ w^2-2w=3\end{cases}\)

\(\begin{cases}z^2-4z+4=49 \\ w^2-2w+1=4\end{cases}\)

\(\begin{cases} (z-2)^2=49 \\ (w-1)^2=4\end{cases}\)

\(1) \begin{cases} z-2=7 \\ w-1=2\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y-2=7 \\ x-y-1=2\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=9-x \\ 2x=12\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=6 \\ y=3\end{cases}\)

\(2) \begin{cases} z-2=-7 \\ w-1=-2\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y-2=-7 \\x-y-1=-2\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-5-x \\ 2x=-6\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-3 \\ y=-2\end{cases}\)

\(3)\begin{cases} z-2=-7 \\ w-1=2\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y-2=-7 \\ x-y-1=2\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-5-x \\ 2x=-2\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-1 \\ y=-2\end{cases}\)

\(4)\begin{cases} z-2=7 \\ w-1=-2\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y-2=7 \\ x-y-1=-2\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=9-x \\ 2x=8\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=4 \\ y=5\end{cases}\)

Ответ: \((6 ; 3), (-3; 2), (-1;-4), (4;5)\).