§9. Арифметическкая прогрессия — 26.Последовательности — 539 — стр. 153

Рассмотрим выражение \(81 \cdot 3^{-6}\). Мы можем представить числа как степени тройки: \(81 = 3^4\). Тогда выражение принимает вид \(3^4 \cdot 3^{-6}\). Согласно свойствам степеней, это равно \(3^{4-6} = 3^{-2}\), что в свою очередь равно \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).

Исследуем \(\frac{\left(-3^{-3}\right)^3}{-9^{-2}}\). Преобразуем числа в степени тройки: \(\left(-3^{-3}\right)^3 = -\left(3^{-3}\right)^3\), а также \(-9^{-2} = -\left(3^2\right)^{-2}\). Далее, мы получаем \(\frac{3^{-9}}{3^{-4}}\), что равно \(3^{-9-(-4)} = 3^{-5}\), что в свою очередь равно \(\frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}\).

Проанализируем \(9^{-5} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}\). Заметим, что \(9^{-5} = \left(3^2\right)^{-5}\) и \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} = \left(3^{-2}\right)^{-3}\). После упрощения получаем \(3^{-10} \cdot 3^6\), что равно \(3^{-10+6} = 3^{-4}\), что в свою очередь равно \(\frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}\).

\((-3^{-3})^2 \cdot 27^3 =(3^-3)^2 \cdot (3^3)^3=3^{-6}\cdot 3^9 = 3^{-6+9} = 3^3\), что в свою очередь равно \(27\).