§9. Арифметическкая прогрессия — 27. Определение арифметической прогрессии — 561 — стр. 159

Дана арифметическая прогрессия с членами \(a, b, c\). Пусть:
\(a = x\)
\(b = x + d\)
\(c = x + 2d\)
\(a^2+a b+b^2=x^2+x(x+d)+(x+d)^2 =\\= x^2+x^2+x d+x^2+2 x d+d^2=3 x^2+3 x d+d^2 \)
\(a^2+a c+c^2=x^2+x(x+2 d)+(x+2 d)^2 =\\=x^2+x^2+2 x d+x^2+4 x d+4 d^2=3 x^2+6 x d+4 d^2 \)
\(b^2+b c+c^2=(x+d)^2+(x+d)(x+2 d)+(x+2 d)^2= \\=x^2+2 x d+d^2+x^2+2 x d+x d+2 d^2+x^2+4 x d+4 d^2 =3 x^2+9 x d+7 d^2 \)
Теперь найдем разности между этими выражениями:
\((b^2+b c+c^2)-(a^2+a c+c^2)=\\=(3 x^2+9 x d+7 d^2)-(3 x^2+6 x d+4 d^2)=3 x d+3 d^2 \)
\((a^2+a c+c^2)-(a^2+a b+b^2)=\\=(3 x^2+6 x d+4 d^2)-(3 x^2+3 x d+d^2)=3 x d+3 d^2\)
Таким образом, разности одинаковы и равны \(3xd + 3d^2\). Следовательно, если \(a, b, c\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то и \(a^2+a b+b^2, a^2+a c+c^2, b^2+b c+c^2\) также будут последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.